Gonit School

গণিতের কিছু বইয়ের তালিকা

0

১. গণিত এবং আরও গণিত
মুহম্মদ জাফর ইকবাল ও জাকারিয়া স্বপন
২. আমাদের গণিত উৎসব
মুনির হাসান
৩. The Art and Craft of Problem Solving, Paul Zeitz
৪. Problem Solving Strategies, Arthur Engel
৫. 500 Mathematical Challenges
৬. 104 Number Theory Problems
৭. Geometry Revisited
(বাংলা অনুবাদ: জ্যামিতির দ্বিতীয় পাঠ)

গণিতবিদ জন নেপিয়ার

0

স্কটিশ রাজকোষাগারের প্রধানের ছেলে বলে কথা। স্কটল্যান্ডের নেপিয়ার বংশের জমিদারি, বংশমর্যাদা, সামাজিক প্রতিপত্তির শত বছরের শাসনের ইতিহাসের মাঝে তাঁর জন্ম। যে কেউ এমন ছেলেকে ভবিষ্যতের জমিদার বলবেই। কিন্তু ছেলেটি পৃথিবীর ইতিহাসে জমিদার কিংবা শাসক হিসেবে সম্মাননা পাননি, একজন গণিতবিদ হিসেবে প্রতিষ্ঠিত হয়ে আছেন জ্ঞান-বিজ্ঞানের গণিতের ভুবনে। ষোলো শতকের বিখ্যাত গণিতবিদ, জ্যোতির্বিদ, পদার্থবিজ্ঞানী জন নেপিয়ার ১৫৫০ সালে এডিনবরাতে জন্মগ্রহণ করেন। গণিতের ভুবনের আকর্ষণীয় অংশ লগারিদমের প্রবক্তা হিসেবে তিনি স্মরণীয়। সাধারণ হিসাবের জন্য তিনি লগারিদম প্রবর্তন করেন। ভ্রমণপিপাসু হওয়ার কারণে শৈশবে স্কুলের পড়াশোনার ধারকাছ দিয়েও যাননি জন নেপিয়ার। বাবা-চাচার চাপে তাঁকে ফরাসি ভাষার স্কুলে ভর্তি করানো হয়। জন ১৫৬৩ সালে সেন্ট অ্যান্ড্রউস বিশ্ববিদ্যালয়ের সেন্ট স্যালভাদর কলেজ থেকে পড়াশোনা শেষে বিশ্ববিদ্যালয়ে ভর্তি হন। এ সময়েই তিনি ধর্মতত্ত্ব নিয়ে আগ্রহী হয়ে ওঠেন। ধারণা করা হয়, প্যারিস বিশ্ববিদ্যালয়ে কিংবা ইতালি ও নেদারল্যান্ডের কোনো বিশ্ববিদ্যালয়ে পড়াশোনা করার সময়েই তিনি গণিত ও জ্যোতির্বিজ্ঞানের প্রতি আকৃষ্ট হয়ে ওঠেন। ১৫৭৪ সালে জন নেপিয়ার তাঁর পৈতৃক জমিদারিতে মনোনিবেশ করেন। তিনি মার্কিস্টাউনের অষ্টম লেয়ার্ড বা ভূশাসক ছিলেন। বলা হয়ে থাকে, জমিদারির হিসাবনিকাশ ও কর্মব্যস্ততার কারণেই জন নেপিয়ার পরিপূর্ণ গণিতবিদ হয়ে ওঠেন। ফসলি জমি চাষে সারের যথাযথ প্রয়োগ নিয়ে অনেক গবেষণা করেন। ১৫৯৩ সালে জন ধর্মতত্ত্বের ওপর তাঁর প্রথম বই এ প্লেইন ডিসকভারি অব দ্য রেভল্যুশন অব সেন্ট জন প্রকাশ করেন। এ গ্রন্থে হিসাবনিকাশ করে তিনি পৃথিবী ধ্বংসের সাল নির্ণয় করেন! তাঁর মতে, ১৬৮৮ বা ১৭০০ সালে পৃথিবী ধ্বংস হবে। শৌখিন গণিতবিদ জন নেপিয়ার লগারিদম ছাড়াও সংখ্যাতত্ত্ব নিয়ে গবেষণা করেন। গাণিতিক হিসাবনিকাশের জন্য তিনি ৎবডোলগিয়া গ্রন্থ প্রকাশ করেন। এর মাধ্যমে তিনি অ্যাবাকাস দিয়ে বর্গমূল ও ঘনমূল নির্ণয় করার বিখ্যাত ‘নেপিয়ারস বোন’ উদ্ভাবন করেন। হাতির দাঁত বা গজদন্ত দিয়ে তৈরি বলেই এ উদ্ভাবনের নামকরণ এরূপ হয়। বিভিন্ন জীবনী গ্রন্থ থেকে জানা যায়, নেপিয়ার ত্রিকোণমিতির বিভিন্ন ফাংশনের প্রতি আগ্রহী ছিলেন। ১৬১৪ সালে তিনি ডিসক্রিপশন অব দ্য ওয়ান্ডারফুল অব লগারিদমস গ্রন্থ প্রকাশের মাধ্যমে লগারিদমের ধারণা প্রথম প্রতিষ্ঠা করেন। এই বইয়ের ৫৭টি পৃষ্ঠায় ছিল লগারিদমের ওপর সাধারণ আলোচনা এবং সংযুক্তি হিসেবে ছিল ৯০ পৃষ্ঠার একটি লগারিদম সারণি। তাঁর প্রকাশিত লগারিদম বর্তমানে প্রচলিত লগারিদমের মতো ছিল না। বর্তমানে বীজগণিতনির্ভর লগারিদমের প্রচলন থাকলেও জন নেপিয়ারের সময় বীজগণিত উন্নত ছিল না। তিনি জ্যামিতিক প্রকাশের মাধ্যমে লগারিদমের উদ্ভাবন করেন। ইংরেজ গণিতবিদ হেনরি ব্রিগসের সহায়তায় তিনি গাণিতিক ধ্রুবক e-এর মান সংশোধন করেন। জন নেপিয়ার দশমিক চিহ্নের মাধ্যমে ভগ্নাংশ প্রকাশের পদ্ধতির উন্নয়ন করেন। গণিতের ভুবনে জন নেপিয়ারের অবদানের স্বীকৃতিস্বরূপ তড়িৎ প্রকৌশলবিদ্যায় শব্দ মাত্রার একক ডেসিবলের পরিবর্তে ‘নেপার’ রাখা হয়েছে। চাঁদের একটি আগ্নেয়গিরির জ্বালামুখের নামকরণও করা হয়েছে নেপার নামে। ১৬১৭ সালে গণিতবিদ জন নেপিয়ার মৃত্যুবরণ করেন।

-জাহিদ হোসাইন

http://prothom-alo.com/detail/date/2012-10-21/news/264549

ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করেই

0

আব্দুল কাইয়ুম

গণিতের কোনো জটিল সমস্যা প্রথমে দেখলে মনে হতে পারে, ক্যালকুলেটর ছাড়া সমাধান বের করা যাবেই না; কিন্তু একটু বুদ্ধি খাটালেই মুখে মুখে হিসাব করে সমাধান বের করা যায়। যেমন ধরা যাক, প্রমাণ করতে হবে যে (১/২) x (৩/৪) x (৫/৬) x (৭/৮)… (৯৭/৯৮) x (৯৯/১০০)
< (১/১০)। ক্যালকুলেটর ছাড়া এ রকম কঠিন সমস্যার সমাধান প্রায় অসম্ভব মনে হতে পারে। কিন্তু লক্ষ করলে দেখব, প্রদত্ত সারিটির সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটা ছন্দ আছে। যেমন প্রথম সংখ্যাটি ১ ও ২—অঙ্ক দুটির ভগ্নাংশ। পরেরটি ৩ ও ৪-এর ভগ্নাংশ। এভাবে ৫, ৬ তারপর ৭, ৮…৯৯ ও ১০০ পর্যন্ত। ঠিক এ রকম আরেকটি সারি আমরা বানাতে পারি, যেমন, (২/৩) x (৪/৫) x (৬/৭)… (৯৮/৯৯)। এখন প্রথম ও দ্বিতীয় সারি দুটি যদি গুণ করি, তা হলে মোট গুণফল মুখে মুখেই হিসাব করে বলতে পারি। সেটা হবে ১/১০০। কারণ, প্রথম সারির প্রতিটি হর অর্থাৎ ভগ্নাংশের নিচের অঙ্কটি বা বিভাজক দ্বিতীয় সারির পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশের লবের, অর্থাৎ বিভাজ্যের মধ্যে কাটাকাটি হয়ে যাবে, থাকবে শুধু ১/১০০। এই হিসাব করার জন্য কোনো ক্যালকুলেটরের প্রয়োজন পড়ে না। এখন বলা যায়, শুধু ওপরের সারির গুণফলটি নিচের সারির গুণফলের চেয়ে ছোট। কারণ, ওপরের সারির প্রতিটি ভগ্নাংশ দ্বিতীয় সারির অনুরূপ স্থানের ভগ্নাংশের চেয়ে ছোট, অর্থাৎ (১/২) < (২/৩), (৩/৪) < (৪/৫) ইত্যাদি। সুতরাং, প্রথম সারির গুণফল অবশ্যই ১/১০০-এর বর্গমূলের চেয়ে ছোট হবে। কারণ, যদি প্রথম সারির গুণফল ‘ক’ ও দ্বিতীয় সারির গুণফল ‘খ’ হয়, তা হলে
কxখ = ১/১০০ কিন্তু যেহেতু ক

 

http://prothom-alo.com/detail/date/2012-10-21/news/299723

মার্বেল দিয়ে ভাগাভাগি

0

মুনির হাসান

ঢাকা শহরে মার্বেল কিনতে পারাটা সহজ নয়। আমাদের ছোটবেলায় পাড়ার দোকানেই মার্বেল আর ঘুড়ি পাওয়া যেত। মার্বেল খেলাটা আমার খুব প্রিয় খেলার একটি ছিল। তবে, আয়ুব পুরান ঢাকার কোনখান থেকে যেন আমাকে কিছু মার্বেল কিনে দিয়েছে। রুবাই তেমন আগ্রহ না পেলেও বিদুষী সেগুলো নানাভাবে ব্যবহার করে। খেলার জন্য তো বটে, অঙ্ক করার জন্যও।
সেদিন ওকে একটি সমস্যা দিয়ে বললাম, আমার কাছে ১৬টি বল আছে। সেগুলো আমি তোমাদের দুই ভাইবোনকে ভাগ করে দিতে চাই। তবে, তুমি যেহেতু ছোট, কাজেই তোমাকে দুইটা বেশি দেব। তা হলে তুমি কয়টা পাবে?
কিছুক্ষণ পর বিদুষী এসে বলল আমি নয়টা পাব, বাবা। দেখলাম ওর হাতে কিছু মার্বেল। জানতে চাইলে ও বলল, ‘বাবা, আমি ১৬টা মার্বেল নিয়ে ভাইয়ার কাছে গেলাম। তারপর আমরা মার্বেলগুলো ভাগ করেছি। প্রথমে আমি দুইটা নিয়ে নিলাম। তারপর আমি একটা, ভাইয়াকে একটা এভাবে দিতে থাকলাম। শেষমেশ আমার কাছে থাকল নয়টা আর ভাইয়ার কাছে হলো সাতটা।’
বুঝলাম, মার্বেলের কদর বাড়ছে এই বাড়িতে। এরই মধ্যে বাপ-বেটির আলোচনায় যোগ দিয়েছে রুবাই। রুবাইকে দেখে বললাম, ‘বিদুষী মার্বেল দিয়ে যে কাজটা করেছে, সেটা অঙ্কের নিয়মে কেমন করে করতে হবে?’
‘তেমন একটা কঠিন হবে না বাবা’, বলল রুবাই। ‘প্রথমে ১৬ থেকে ২ বিয়োগ করতে হবে। পাব ১৪। এখন ১৪কে সমান দুই ভাগে ভাগ করতে হবে। সমানভাবে ভাগ মানে ভাগ করা। সমান দুই ভাগ মানে ২ দিয়ে ভাগ। তা হলে ১৪ ভাগ ২-এ হবে ৭। সেটি আমার ভাগ। আর বিদুষীর ভাগের সঙ্গে ২ যোগ করলে পেয়ে যাব ৯।’
তারপর ও খাতায় করে দেখাল। দেখলাম ঠিকই আছে। ভাবলাম, রুবাইকেও একটি সমস্যা দেওয়া যাক। বললাম, ‘আচ্ছা, ধরো তোমাকে আমি ১৬টি মার্বেল দিয়ে বিদুষীর সঙ্গে ভাগ করতে বললাম। তবে এমনভাবে ভাগ করতে হবে যে বিদুষী তোমার চেয়ে তিন গুণ বেশি পাবে।’
ভাইবোনকে বেশি বিচলিত মনে হলো না। বিদুষীর হাত থেকে সব মার্বেল রুবাই নিয়ে নিল। তারপর দেখলাম সে কয়েকবার করে বিদুষীকে মার্বেল দেয়, আর নিজের জন্য সরিয়ে রাখে। হাতের মার্বেল শেষ করে বলল, ‘বাবা, আমার কাছে চারটা আর বিদুষীর কাছে ১২টা। হয়েছে?’
বাহ! মার্বেল পদ্ধতি তো ভালোই। রুবাই ব্যাখ্যাটা করল, ‘ভাগ করার সময় প্রথমে আমি একটা নিলাম, বিদুষীকে তিনটা দিলাম। আবার আমি একটা নিলাম বিদুষীকে তিনটা দিলাম। এভাবে হাতের মার্বেল শেষ হয়ে যাওয়ার পর দেখলাম ওর কাছে ১২টা আর আমার কাছে চারটা।’
আমি বুঝলাম, ভাগাভাগির ব্যাপার ভাইবোন ভালোই রপ্ত করেছে। ভাবলাম, তা হলে সংখ্যাটি বাড়িয়ে দিই, যাতে মার্বেল দিয়ে করতে না পারে! খাতা-কলমে করতে হয়।
বললাম, ‘বেশ। তা হলে আজকে শেষ অঙ্কটা করো। মনে করো দুইটি সংখ্যার যোগফল ১০০। এর মধ্যে একটি অন্যটির তিন গুণ। সংখ্যা দুটি বের করো।’
আমি জানি, বিদুষী তো নয়ই, রুবাইও এখনো বীজগণিত শেখেনি। কাজেই দেখা যাক, কীভাবে তারা এটি করে।
একটু পরই রুবাই ঘোষণা করল, ‘বাবা, হয়ে গেছে। ছোট সংখ্যাটি ২৫ আর বড়টি ৭৫।’
আমি একটু অবাক হয়ে ওর খাতাটা দেখলাম। ওর খাতাটা ছিল এ রকম—
একটি সংখ্যা অপর সংখ্যা যোগফল
১০ ১০×৩ = ৩০ ৪০
২০ ২০×৩ = ৬০ ৮০
৩০ ৩০×৩ = ৯০ ১২০

দেখা যাচ্ছে, একটি সংখ্যা ২০ হলে যোগফল ১০০-এর কম কিন্তু ৩০ হলে ১০০-এর বেশি। কাজেই সংখ্যাটি ২০ থেকে ৩০-এর মধ্যে।
একটি সংখ্যা অপর সংখ্যা যোগফল
২১ ২১×৩ = ৬৩ ৮৪
২২ ২২×৩ = ৬৬ ৮৮
২৩ ২৩×৩ = ৬৯ ৯২
২৪ ২৪×৩ = ৭২ ৯৬
২৫ ২৫×৩ = ৭৫ ১০০
কাজেই একটি সংখ্যা ২৫ এবং অপরটি ৭৫।
ভাবলাম, কেন ১০ থেকে শুরু করেছে?
‘প্রথমে ১ দিয়ে শুরু করব ভেবেছিলাম। পরে মনে হলো ১ থেকে ১০০-তে যেতে অনেকক্ষণ লাগবে, তাই ১০ দিয়ে শুরু করেছি।’
আমি ওদের বললাম, ‘আমরা যেখান থেকে শুরু করি না কেন, শেষ পর্যন্ত আমরা ২৫ আর ৭৫-এ এসে পড়ব। যদি ২০ দিয়ে শুরু করে ২০ করে বাড়াতাম, তা হলে ২০-এর পর ৪০-এ গিয়ে টের পেতাম ১০০-এর বেশি হয়ে গেছে। আবার ২১ থেকে শুরু করতাম। কাজে তুমি কত থেকে শুরু করলে সেটা খুব গুরুত্বপূর্ণ নয়। ইচ্ছে হলে করে দেখতে পারো।’ আমার হাত থেকে খাতা নিয়ে রুবাই পরীক্ষা করতে লেগে গেল। তোমরাও এই হিসাবে নেমে পড়তে পারো। দেখবে যতভাবেই তুমি শুরু করো না কেন, শেষ পর্যন্ত ২৫-৭৫-এ এসে থামবে।
তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

Go to Top
%d bloggers like this: