অসমতার যোগ, বিয়োগ, গুন, ভাগ (BOMC-2011)

[sm.joty]

But when I want to find \[\frac{a}{c} \]
then how I can use inverse ?

[nafistiham]

first take the inverse of $c$ which is $\frac{1}{c}$. and then multiply it with $a$. you'll get $\frac{a}{c}$

[*Mahi*]

But when I want to find \[\frac{a}{c} \]
then how I can use inverse ?

If you are given two inequalities like $a>b$ and $c>d$ then the answer is simple- you cant find $\frac a c$ without finding a new inequality.

[tanvirab]

The best way is to just think when you do it.

One technique I find useful is to first think about the relation between absolute values. For example, if $a > b$ and $c>d$ then first think how $|a|$ and $|c|$ are related, similarly for $|b|$ and $|d|$. For positive numbers it is easy to understand the result of product and division, if you multiply by bigger number than the result is bigger, if you divide by bigger number the result is smaller. And once you know the relation between absolute values you can put the sign back in carefully.

So just think carefully about all possible cases, for example, what if $a,c$ are positive but $b,d$ are negative? and what if only $d$ is negative and the all others are positive etc.

[sm.joty]

আচ্ছা, গুনের বিষয়টা কেউ একটু বলবেন।আমি তো একটা জিনিস বুঝতে পারলাম না।
\[-1 < 0\]
আবার, \[-2 < 0\]
তাহলে, দুটো অসমতা গুন করলে পাই,
\[2 < 0\]
ভুলটা কোথায় হল বুঝতে পারছি না
তাহলে কি নেগেটিভ সংখ্যার জন্য নিয়মটা প্রযোজ্য না।
যদি নেগেটিভ সংখ্যা থাকে তখন কি করবো ???

[tanvirab]

গণিতে নিয়ম বইলা কিছু নাই। তুমি যা প্রমাণ করতে পারবা সেইটাই একমাত্র সঠিক, প্রমাণ না করতে পারলে ভুল। অসমতার গুণ করা যে যাবে না সেইটা তুমিই প্রমাণ করলা উপরে।

[sm.joty]

গণিতে নিয়ম বইলা কিছু নাই। তুমি যা প্রমাণ করতে পারবা সেইটাই একমাত্র সঠিক, প্রমাণ না করতে পারলে ভুল। অসমতার গুণ করা যে যাবে না সেইটা তুমিই প্রমাণ করলা উপরে।

আরে তাহলেতো আরও বিপদে পড়লাম
ভাইয়া, আগের আলোচনা গুলা দেখেন সবাই বলছে গুন করা যায়। (এমন কি ভাগ করার জন্য inverse নিয়ে গুন করতে বলা হয়েছে।)
তাহলে আগের আলোচনা গুলা কি আমি বুঝি নাই !! confused.

মাহি লিখেছে,

And there is no dividing too, just multiplication, sometimes with the multiplicative inverse.

[tanvirab]

আগের আলোচনায় যা বলসে সেইটা প্রমান করা গেলে সত্যি। প্রমাণ না করতে পারলে সত্যি না।

[nafistiham]

তানভীর ভাইয়ার কথা পড়ে তো মনে হচ্ছে গনিত কে যেভাবে জানতাম তা মোটেও সেরকম নয় । সবই প্রমাণ নির্ভর ।

[sm.joty]

তানভীর ভাইয়ার কথা পড়ে তো মনে হচ্ছে গনিত কে যেভাবে জানতাম তা মোটেও সেরকম নয় । সবই প্রমাণ নির্ভর ।

আমিও চিন্তা ভাবনা করে কোন কুল কিনারা করতে পারলাম না। তবে এতুটুকু sure যে, $a>b$ এবং $c>d$
হলে, $ac>bd$ হবে নিচের দুটো শর্তের জন্য,
(১)a,b,c,d সবাই পজেটিভ হলে।
(২)b,d এর অন্তত একটা নেগাতিভ হলে ।

আর b,d দুটোই নেগেটিভ হলে, $ac>bd$
হবে যদি এবং কেবল যদি $ac>|bd|$ হয়।
মানে $a>|b|$ এবং $c>|d|$ হয়।