Mathmatical induction in inequality (BOMC-2011)

[sm.joty]

AM-GM inequality এর প্রমানে গানিতিক আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়েছে। প্রমাণটা বুঝতে পেরেছি কিন্তু আমরা স্কুল কলেজে যে পদ্ধতিতে গানিতিক আরোহ ব্যবহার করেছি এটা সেরকম না। তবে পদ্ধতিটা বেশ interesting.
আমার প্রশ্ন হল যে কোন অসমতা যেখানে $n$ ঘাত হিসেবে আসে সেখানে কি সব সময়ই গানিতিক আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা যায়। (উদাহরন হিসেবে -Ex-1.45, EX-1.46 ইত্যাদির কথা বলা যায় ।) নাকি এটা সমস্যা অনুযায়ী ব্যবহার করা হয় ?

[tanvirab]

সেইটা সমস্যা উপর নির্ভর করবে। গাণিতিক আরোহের মূলনীতি হইল, কোনোকিছু $n$ এর জন্য সত্যি হইলে যদি $n+1$ এর জন্যও সত্যি হয়, তাইলে শুধু একটা পূর্ণ সংখ্যার জন্য সেইটাকে সত্যি দেখাইতে পারলেই তারচেয়ে বড় যেকোনো পূর্ণসংখ্যার জন্যও সত্যি হবে। সুতরাং $n$ এর জন্য সত্যি হইলে $n+1$ এর জন্যও সত্যি এই ধাপটা যদি দেখানো সহজ হয় তাইলে গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার উপযোগী।

এই ক্ষেত্রে একটা ভাল বুদ্ধি হইল ছোট $n$ এর জন্য (n=1,2,3..) আগে প্রমাণ কইরা দেখা। যদি দেখা যায় যে আগেরটাকে ব্যবহার কইরা পরেরটা খুব সহজে করা যাইতেসে, তাইলে আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার করা ভাল বুদ্ধি।

[tanvirab]

বইয়ের $AM-GM$ প্রমাণটায় ব্যবহার করা আরোহ পদ্ধতি একটু জটিল ধরণের। এই ধরণের সমাধান করা সহজ ব্যাপার না। সাধারণত কোনো সমস্যার প্রথম সমাধান করার সময় এই ধরণের চালাকি সমাধান দেখা যায় না; একবার সমাধান হইয়া যাওয়ার পরে যখন মানুষ আরো বিভিন্নভাবে একই সমাধান করার চেষ্টা করে তখন এই ধরণে "চালাকি" সমাধান বাইর হয়।