IMO-2001-Problem-4
-
- Posts:461
- Joined:Wed Dec 15, 2010 10:05 am
- Location:Dhaka
- Contact:
Let $n>1$ an odd integer and $c_1,c_2,c_3....c_n$ be integers. For each permutation $a=(a_1,a_2,...,a_n)$ of {$1,2,3,...n$} define $S(a)=\sum_{i=1}^{n}c_ia_i$. Prove that there exist permutations ($a$ not equal to $b$) of {$1,2,,,n$} such that $n$! divides $S(a)-S(b)$.
You spin my head right round right round,
When you go down, when you go down down......(-$from$ "$THE$ $UGLY$ $TRUTH$" )
When you go down, when you go down down......(-$from$ "$THE$ $UGLY$ $TRUTH$" )
Re: IMO-2001-Problem-4
Are $a_1,a_2,...,a_n$ also integers?
Besides,pls describe the problem in details in bengali.
Besides,pls describe the problem in details in bengali.
-
- Posts:461
- Joined:Wed Dec 15, 2010 10:05 am
- Location:Dhaka
- Contact:
Re: IMO-2001-Problem-4
As ($a_1,a_2,...a_n$) is permutation of {$1,2,3...n$} so, yes, they are integers.
Problem In Bengali (খাঁটি সোজা বাংলায় )
$n>1$ একটা বিজোড় সংখ্যা। মনে কর $c_1,c_2,c_3...c_n$ হল কিছু fix পূর্ণসংখ্যা । এখন মনে কর {$1,2,...n$} সংখ্যাগুলোর একটা বিন্যাস ($a_1,a_2,a_3,....a_n$) (উদাহরণঃ ($3,5,4,1,2,6,7....n$) হল এরকম একটা বিন্যাস)। এরকম একটা বিন্যাস কে একটা নাম দিয়ে উল্লেখ করা হলঃ $a=(a_1,a_2,a_3,....a_n)$. এখন প্রতিটা নির্দিষ্ট বিন্যাস যেমন $a$ এর জন্য $S(a)$ হল $c_1*a_1+c_2*a_2...+c_n*a_n$. প্রমাণ করতে হবে যে, এমন দুইটা ভিন্ন ভিন্ন বিন্যাস(অবশ্যই {$1,2,...n$} এর) $a,b$ পাওয়া যাবে যাতে $n$!, $S(a)-S(b)$ কে ভাগ করে।
Problem In Bengali (খাঁটি সোজা বাংলায় )
$n>1$ একটা বিজোড় সংখ্যা। মনে কর $c_1,c_2,c_3...c_n$ হল কিছু fix পূর্ণসংখ্যা । এখন মনে কর {$1,2,...n$} সংখ্যাগুলোর একটা বিন্যাস ($a_1,a_2,a_3,....a_n$) (উদাহরণঃ ($3,5,4,1,2,6,7....n$) হল এরকম একটা বিন্যাস)। এরকম একটা বিন্যাস কে একটা নাম দিয়ে উল্লেখ করা হলঃ $a=(a_1,a_2,a_3,....a_n)$. এখন প্রতিটা নির্দিষ্ট বিন্যাস যেমন $a$ এর জন্য $S(a)$ হল $c_1*a_1+c_2*a_2...+c_n*a_n$. প্রমাণ করতে হবে যে, এমন দুইটা ভিন্ন ভিন্ন বিন্যাস(অবশ্যই {$1,2,...n$} এর) $a,b$ পাওয়া যাবে যাতে $n$!, $S(a)-S(b)$ কে ভাগ করে।
You spin my head right round right round,
When you go down, when you go down down......(-$from$ "$THE$ $UGLY$ $TRUTH$" )
When you go down, when you go down down......(-$from$ "$THE$ $UGLY$ $TRUTH$" )
- FahimFerdous
- Posts:176
- Joined:Thu Dec 09, 2010 12:50 am
- Location:Mymensingh, Bangladesh
Re: IMO-2001-Problem-4
I solved it before and my solution was similar to the official one. Actually it's an obvious way. So, here's a hint (those who don't want to read, close your eyes, because I can't hide it from mobile):
Edited
Moderator's note:Now you don't have to close your eyes
Edited
Moderator's note:Now you don't have to close your eyes
Your hot head might dominate your good heart!
Re: IMO-2001-Problem-4
General Hint:
Please read Forum Guide and Rules before you post.
Use $L^AT_EX$, It makes our work a lot easier!
Nur Muhammad Shafiullah | Mahi
Use $L^AT_EX$, It makes our work a lot easier!
Nur Muhammad Shafiullah | Mahi
- Phlembac Adib Hasan
- Posts:1016
- Joined:Tue Nov 22, 2011 7:49 pm
- Location:127.0.0.1
- Contact:
Re: IMO-2001-Problem-4
Nice problem. I have solved it just now.I also used residue class to build a contradiction.(But I didn't see the hints before solving it.Actually these come first to (almost) everyone's head seeing such problems. )
Welcome to BdMO Online Forum. Check out Forum Guides & Rules