a new series

[barnik]

a new series is to be created after erasing some numbers from the series 1234.......400,in such a way so the sum of any two numbers from the series is not divisible by 7. what is the maximum number of terms to be found in the new series.


source . dhaka divisional math olympiad 12th bdmo

[tanmoy]

Please,post the divisional olympiad problems in the "Divisional Math Olympiad " level.

[tanmoy]

যেহেতু,যেকোনো দুটি সংখ্যার যোগফল $7$ দ্বারা বিভাজ্য হতে পারবেনা,সুতরাং,এমন দুটি সংখ্যা নেওয়া যাবে না যাদের $7$ দ্বারা ভাগ করলে $0$ থাকে।যদি আমরা এমন একটি সংখ্যা $a$ নেই যাকে $7$ দ্বারা ভাগ করলে $1/2/3$ থাকে,তাহলে আমরা এমন কোনো সংখ্যা নিতে পারবনা যাকে $7$ দ্বারা ভাগ করলে $6/5/4$ থাকে।আমরা যেকোনো $7$টি পরপর সংখ্যা থেকে $3$টি সংখ্যা নিতে পারি।$\because$ $\frac{399}{7}=57$, সুতরাং,$57\times 3=171$টি পদ থাকবে।এছাড়া আমরা একটি $7$ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নিতে পারি এবং $400$ কে নিতে পারি।মোট $173$টি পদ থাকবে।যদি আমরা এমন কোনো সংখ্যা নেই যাকে $7$ দ্বারা ভাগ করলে $6$ অবশিষ্ট থাকে,তাহলে আমরা $400$ কে নিতে পারবনা।সেক্ষেত্রে একটি পদ কম হবে।কিন্তু এখানে সর্বোচ্চ চেয়েছে।সুতরাং,আমরা এমন কোনো সংখ্যা নেব না যাকে $7$ দ্বারা ভাগ করলে $6$ অবশিষ্ট থাকে।সুতরাং,নতুন ধারায় মোট $173$টি পদ থাকবে