Disjoint disks

For college and university level advanced Mathematics
User avatar
nayel
Posts: 268
Joined: Tue Dec 07, 2010 7:38 pm
Location: Dhaka, Bangladesh or Cambridge, UK

Disjoint disks

Unread post by nayel » Mon Dec 13, 2010 10:21 pm

Prove that any collection of disjoint disks in the plane is countable. What if we replace "disks" by "circles"?
"Everything should be made as simple as possible, but not simpler." - Albert Einstein

tanvirab
Posts: 446
Joined: Tue Dec 07, 2010 2:08 am
Location: Pasadena, California, U.S.A.

Re: Disjoint disks

Unread post by tanvirab » Tue Dec 14, 2010 8:34 am

Nice problem. The following proof works for any finite dimensional euclidean space.
The circle case is easy since any disk can be divided into uncountably many circles.

Take any collection of disjoint disks. Each disk contains at least one point, all of whose coordinates are rational. Pick one such point for each disk. Move the disks so that the centers are at those points. Since, the original disks were disjoint, these points (the new centers with rational coordinates) are in one-to-one correspondence with the disks. Since rational numbers are countable, we are done.

User avatar
nayel
Posts: 268
Joined: Tue Dec 07, 2010 7:38 pm
Location: Dhaka, Bangladesh or Cambridge, UK

Re: Disjoint disks

Unread post by nayel » Mon Dec 20, 2010 6:02 pm

Yes that is almost the same as my solution. Just note that we don't need to move the disks because each such point specifies one and only one of the disks (as they are disjoint).
"Everything should be made as simple as possible, but not simpler." - Albert Einstein

abir91
Posts: 52
Joined: Sun Dec 19, 2010 11:48 am

Re: Disjoint disks

Unread post by abir91 » Mon Dec 20, 2010 10:28 pm

বুঝলাম না। collection বলতে ঠিক কি বুঝানো হইতেছে? disk গুলার union? তাহইলে তো এইটা অবশ্যই uncountable :?

আর যদি তা না বুঝাইয়া প্রতিটা disk কে একটা গানিতিক বস্তু বিবেচনা করা হয় তাহইলে তাদেরকে 1,2,3 ইত্যাদি নাম্বারিং করলেই তো হয়। :roll:
Abir

Have you read the Forum Rules and Guidelines?

User avatar
nayel
Posts: 268
Joined: Tue Dec 07, 2010 7:38 pm
Location: Dhaka, Bangladesh or Cambridge, UK

Re: Disjoint disks

Unread post by nayel » Tue Dec 28, 2010 12:26 am

http://en.wikipedia.org/wiki/Collection ... ematics%29

এইভাবে করা গেলে তো সমতলের বিন্দুগুলাকেই নাম্বারিং করে প্রমাণ করা যেত যে $\mathbb R^2$ is countable. :P
"Everything should be made as simple as possible, but not simpler." - Albert Einstein

tanvirab
Posts: 446
Joined: Tue Dec 07, 2010 2:08 am
Location: Pasadena, California, U.S.A.

Re: Disjoint disks

Unread post by tanvirab » Tue Dec 28, 2010 1:39 pm

আবির এইটা দেথ : http://en.wikipedia.org/wiki/Uncountable

সব সেটের (বা কালেকশানের) জিনিসকে পূর্ণ সংখ্যা দিয়া নাম্বারিং করা যায় না। পূর্ণ সংখ্যা দিয়া নাম্বারিং করার মানে হইল পূর্ণ সংখ্যার সেটের একটা সাবসেটের সাথে বাইজেকশান। এইরকম বাইজেকশান থাকলে সেইটা হইল কাউন্টেবল। আর না থাকলে আনকাউন্টেবল। যেমন - মূলদ সংখ্যার সেট কাউন্টেবল, কিন্তু বাস্তব সংখ্যার সেট আনকাউন্টেবল।

abir91
Posts: 52
Joined: Sun Dec 19, 2010 11:48 am

Re: Disjoint disks

Unread post by abir91 » Sun Jan 09, 2011 9:23 pm

tanvirab wrote:আবির এইটা দেথ : http://en.wikipedia.org/wiki/Uncountable

সব সেটের (বা কালেকশানের) জিনিসকে পূর্ণ সংখ্যা দিয়া নাম্বারিং করা যায় না। পূর্ণ সংখ্যা দিয়া নাম্বারিং করার মানে হইল পূর্ণ সংখ্যার সেটের একটা সাবসেটের সাথে বাইজেকশান। এইরকম বাইজেকশান থাকলে সেইটা হইল কাউন্টেবল। আর না থাকলে আনকাউন্টেবল। যেমন - মূলদ সংখ্যার সেট কাউন্টেবল, কিন্তু বাস্তব সংখ্যার সেট আনকাউন্টেবল।
হুম, আমার পোস্টে আমি কিছু বর্ননা দিতে ভুইলা গেছিলাম। কেন্দ্র গুলাকে আমরা প্রথমে x অক্ষ বরাবর সাজাইতে পারি , তারপর tie break করব y axis দিয়া। সেক্ষেত্রে এইটা ZxZ এর একটা সাবসেট হবে, সুতরাং ১,২,৩ ইত্যাদি নাম্বারিং করা যাবে।
Abir

Have you read the Forum Rules and Guidelines?

tanvirab
Posts: 446
Joined: Tue Dec 07, 2010 2:08 am
Location: Pasadena, California, U.S.A.

Re: Disjoint disks

Unread post by tanvirab » Mon Jan 10, 2011 12:30 am

বুঝি নাই। :?

User avatar
nayel
Posts: 268
Joined: Tue Dec 07, 2010 7:38 pm
Location: Dhaka, Bangladesh or Cambridge, UK

Re: Disjoint disks

Unread post by nayel » Mon Jan 10, 2011 12:41 am

abir91 wrote:হুম, আমার পোস্টে আমি কিছু বর্ননা দিতে ভুইলা গেছিলাম। কেন্দ্র গুলাকে আমরা প্রথমে x অক্ষ বরাবর সাজাইতে পারি , তারপর tie break করব y axis দিয়া। সেক্ষেত্রে এইটা ZxZ এর একটা সাবসেট হবে, সুতরাং ১,২,৩ ইত্যাদি নাম্বারিং করা যাবে।
What if we have a centre at each real distance along the $x$-axis?
"Everything should be made as simple as possible, but not simpler." - Albert Einstein

abir91
Posts: 52
Joined: Sun Dec 19, 2010 11:48 am

Re: Disjoint disks

Unread post by abir91 » Mon Jan 10, 2011 8:19 am

That cannot happen, according to the condition that the disks are disjoint. Suppose, we have a disk centered at (a,0) with radius r. Then, we may not have any other disk centered in the interval [a-r,a+r].

*It can be proved quite easily that we can sort collection of disjoint intervals as well, just to clarify that it was not taken for granted. :P *
Abir

Have you read the Forum Rules and Guidelines?

Post Reply