Nice In a Tricky Way!

For discussing Olympiad Level Number Theory problems
User avatar
Masum
Posts:592
Joined:Tue Dec 07, 2010 1:12 pm
Location:Dhaka,Bangladesh
Nice In a Tricky Way!

Unread post by Masum » Tue Jan 07, 2014 12:44 pm

Find all positive integer $n$ such that for some $1\leq i\leq j<n$, \[\gcd\left(\binom ni,\binom nj\right)=1\]
একটা আইডেন্টিটি দেখে এই সমস্যাটার কথা মনে পড়লো। তাই দিয়ে দিলাম। এটা বেশ সুন্দর একটা সমস্যা। দেখতে নিরীহ, এবং সুন্দর। কিন্তু ঠিক মত করতে না পারলে অনেক বিদঘুটে হিসাব করতে হবে, তাও হবে যে তার কোন গ্যারান্টি নাই।
One one thing is neutral in the universe, that is $0$.

User avatar
Tahmid Hasan
Posts:665
Joined:Thu Dec 09, 2010 5:34 pm
Location:Khulna,Bangladesh.

Re: Nice In a Tricky Way!

Unread post by Tahmid Hasan » Tue Jan 07, 2014 5:53 pm

Am I missing something?
Clearly $i \neq j$. So let $i<j$.
Now by some algebraic manipulation we get \[\frac{\binom nj}{\binom ni}=\frac{\binom{n-i}{n-j}}{\binom ji}\]
Since $LHS$ is irreducible, comparing denominators we have \[\binom ni|\binom ji \Rightarrow \binom ni \leq \binom ji\] which is a contradiction since $j<n$.
বড় ভালবাসি তোমায়,মা

User avatar
HIHUMITHafiz
Posts:9
Joined:Mon Aug 26, 2013 8:34 am
Location:Mymensingh

Re: Nice In a Tricky Way!

Unread post by HIHUMITHafiz » Tue Jan 07, 2014 8:17 pm

from tahmid ,so there are no $n$ except 1 that follows masum's equation.
"That's I do I drink and know things .

Post Reply