IMO - 1987 - 4

[Kiriti]

Prove that there is no function \(f\) from the set of non-negative integers into itself
such that \(f(f(n)) = n + 1987\) for every \(n\)

[Kiriti]

এখানে , \( f(f(n)) = n + 2014\) হইলেও কোন সমস্যা নাই । তার প্রমান,

\( f(f(0)) = f(k) = 2014\) । এখানে, \(f(0) = k\) ধরি । এখন \(f(0) = k\) তারমানে \(f(k) = 2014\) এখন, \(f(2014) = f(f(k)) = k + 2014 \) (এখানে \(2014 = f(k)\) বসিয়ে পাই )
আবার, \(f(f(2014) = f(k+2014) = k+2014\) যেখানে, \(k+2014 = f(2014)\) ।
এখন , \(f(k+2014) = k+2014\) তাই \( f(f(k+2014) = k+2014\)...... (1)
কিন্তু আমরা জানি, \( f(f(k+2014) = k+2014 +2014\) কিন্তু (1) থেকে পাই \( f(f(k+2014) = k+2014\) । যেহুতু \( k + 2014 \) আর \(k+ 2014 +2014 \) অসমান তাই এমন কোন \(f\) থাকা সম্ভব না

[asif e elahi]

আবার, \(f(f(2014) = f(k+2014) = k+2014\) যেখানে, \(k+2014 = f(2014)\) ।

How \(f(f(2014) = f(k+2014) = k+2014\) ?

[Kiriti]

\( f(k) = 2014\) আবার \(f(f(k)) = k+2014 \) তারমানে \( f(2014) = k+2014\) ।
আবার \( f(f(2014)) = f(k+2014) = k+2014\) । এখানে পাওয়া যায় যে, \(f(k+2014) = k+2014\)

[Nirjhor]

f(f(2014)) = 2014 + 2014 = 4028

[asif e elahi]

$f(k+2014) = k+2014$

Can you explain this part?

[sadman sakib]

Kiriti , IMO এর সবগুলো প্রশ্ন কোথায় পেতে পারি বলতে পার ? আমি artofproblemsolving এ সবগুলো পাচ্ছি না ।

[Tahmid]

sadman sakib.......... the IMO compendium নামে একটা বই আছে । সেখানে 1959-2004 পর্যন্ত IMO এর প্রশ্ন পাবে । IMO shortlist এর problem গুলাও আছে।

[sadman sakib]

Tahmid , এখন আবার বই পাব কোথায় ? বরং একটা link দিতে পারবা ?

[Kiriti]

নেটে সার্চ দিয়া দেখো ।