Find a combinatorial proof of the following theorem known from বাচ্চাকাল।
\[1^2+2^2+\ldots+n^2=\binom {n+2}3+\binom{n+1}3\]
এইটা আমার বাইর করা প্রথম কম্বিনেটরিয়াল প্রুফ। তারপরে আমি যাই দেখি তারই কম্বিনেটরিয়াল প্রুফ বাইর করার ইচ্ছা হইত। ও আর এইটা আমারে চমক ভাই দিছিল।
Count Them Differently
One one thing is neutral in the universe, that is $0$.
- zadid xcalibured
- Posts:217
- Joined:Thu Oct 27, 2011 11:04 am
- Location:mymensingh
Re: Count Them Differently
$$\binom{k}{1}+2\binom{k}{2}=k+2\frac{k\left( k-1\right) }{2}=k^{2} $$
we get
$\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\sum_{k=0}^{n}\binom{k}{1}+2\binom{k}{2}% =\sum_{i=1}^{n}\binom{k}{1}+2\sum_{k=1}^{n}\binom{k}{2} \\ &=&\binom{n+1}{2}+2\binom{n+1}{3} \\ &=&\frac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6}$
we get
$\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\sum_{k=0}^{n}\binom{k}{1}+2\binom{k}{2}% =\sum_{i=1}^{n}\binom{k}{1}+2\sum_{k=1}^{n}\binom{k}{2} \\ &=&\binom{n+1}{2}+2\binom{n+1}{3} \\ &=&\frac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6}$
Re: Count Them Differently
I meant actually something like bijection or counting in two ways. I don't see the counting argument.
One one thing is neutral in the universe, that is $0$.