ভাল প্রশ্ন। এটা আমাকে গণিত ক্যাম্পে মনে হয় প্রিতম করেছিল। এইখানে বিস্তারিত লিখছি।
প্রথমত, দ্বাদশ শ্রেণীর পদার্থবিজ্ঞান বইতে জটিলতা এড়ানোর জন্য সংজ্ঞাতেই সব বৈশিষ্ট্য দিয়ে দেওয়া হয়েছে। আসলে উচ্চতর গণিতে (লিনিয়ার এলজেব্রাতে) ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে (এক্ষেত্রে লক্ষ্যণীয় হল ভেক্টর গুণন সর্বোচ্চ তিন মাত্রার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য) দুইটি ভেক্টর $\vec{a},\vec{b}$ এর ভেক্টর গুণন এভাবে সংজ্ঞায়িত --
\[\vec{a}\times \vec{b}=\left \vert\begin{array} {|ccc|} i & j & k \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{array} \right \vert \]
১। দুইটি ভেক্টর এর Cross product এর এর দিক ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী তলের লম্ব বরাবর হয় কেন?
এটা ডটগুণনের সংজ্ঞা থেকে প্রমাণ করা যায়-- \[(\vec{a}\times \vec{b}) \cdot \vec{a}=\left \vert\begin{array} {|ccc|} a_1 & a_2 & a_3 \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{array} \right \vert =0\]
একইভাবে $\vec{b}$ এর সাথে ডটগুণনের ক্ষেত্রেও ফল ০ আসে। সুতরাং ভেক্টরগুণনে প্রাপ্ত ভেক্টর উভয়ের উপর লম্ব।
২।এর মান হল ভেক্টরদ্বয়ের মান এবং এদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণের সাইন এর গুনফলের সমান।এটার প্রমান টা কি?
প্রথমে দেখি, ভেক্টরগুণনে প্রাপ্ত ভেক্টরের মান--
\[ |\vec{a}\times \vec{b}|=\sqrt{(a_1b_3-a_3b_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2}\]
পুনরায় Dot-product এর সংজ্ঞা থেকে পাই \[ \begin{align*} \cos \phi = & \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \\
\iff \sin \phi= & \sqrt{\frac{(\sum a_i^2 ) (\sum b_i^2)-(\sum a_ib_i)^2}{(\sum a_i^2 ) (\sum b_i^2)}} \end{align*}\]
সুতরাং, \[\begin{align*}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \phi= & \sqrt{(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)}\sqrt{\frac{(\sum a_i^2 ) (\sum b_i^2)-(\sum a_ib_i)^2}{(\sum a_i^2 ) (\sum b_i^2)}} \\ = & \sqrt{(\sum a_i^2 ) (\sum b_i^2)-(\sum a_i b_i)^2} \\
= & \sqrt{(a_1b_3-a_3b_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2} \\ =& |\vec{a}\times \vec{b}| \end{align*}\]
শেষ লাইনটা
Lagrange's identity থেকে আসে। (অথবা সব পদ বিস্তার করেও প্রমাণ করা যায়।)
যেমন ধরেন,
