স্কেলার প্রোডাক্ট বা Dot Product

[Abdul Muntakim Rafi]

আমি (Scaler product or dot product) সম্পর্কে বিস্তারিত জানতে চাইতেছি।

এইটাকে কিভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে?

১।এর মান হল ভেক্টরদ্বয়ের মান এবং এদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণের কোসাইনের গুনফলের সমান।এটার প্রমান টা কি?

*আর এইটা Physics forum এ দিলাম কারন এইটা HSC Physics বই এ পাইছি। যদিও এইটা জ্যামিতির বিষয় তবুও এইখানেই পোস্ট কইরা ফেললাম।

আর যে কোন দুইটি Vector এর কি ইচ্ছামত Dot Product or Cross Product বের করা যাবে। আর যদি যে কোন দুইটা Vector এর ক্ষেত্রে করা না যায় তবে কন শর্ত মেনে তা করা যাবে।
যেমন, বল এবং বলের দিকে সরনের উপাংশ এর Dot Product হল কাজ।কিন্তু এদের কি Cross Product নাই।যদি থাকে তাইলে কি?

[confused]

kono vector cross product hbe tokon jokon atar specific direction takbe.kaj kokono cross product hbe na becaz kaj ar specific kono direction nai.j kono dik a hote pare.direction jodi clock or anti-clock ai 2 tar modde limited takhe tahole cross product hbe.cross product a direction ta vertically kaj kore nd sine holo lombo nd otivuj ar relation.so,cross product ber korar somoy sine ar onupat dorte hoi.bt sclar product ar specific direction nai. ar man ground ar sapekke dora hoi nd cosine diye count kora hoi.

[tanvirab]

এইটা scalar product এর সংজ্ঞা।

যেকোনো দুইটা ভেক্টরেরই cross product এবং scalar product আছে। (যেইরকমভাবে যেকোনো দুইটা সংখ্যারই গুণফল আছে)

[Abdul Muntakim Rafi]

তানভীর ভাইয়া, বুঝলাম। ধন্যবাদ। মানে এই জিনিসটাকে এভাবেই সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।কিন্তু স্যার ত এভাবে বলে নাই। তাই confused হয়ে গেছিলাম।

মুন ভাইয়া, আপনি dot product এর উপর নির্ভর করে cross product এর মান এবং দিক নির্ণয় করা বলেছেন। কিন্তু dot product এর ক্ষেত্রে মান কত তা কিভাবে প্রমান করবেন? মানে এটাকে কি এভাবেই সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যেন
\[\vec{a}.\vec{b}= ab cos \theta \]
হয়।নাকি অন্যভাবে বলা হয়েছে?

আর dot product ত ৩ মাত্রার মধ্যে সীমাবদ্ধ না,তাই না?

[tanvirab]

scalar product যেকোনো মাত্রাতেই করা যায়; এমনকি অসীম মাত্রাতেও (এমনকি কোনো সুনির্দিষ্ট মাত্রা নাই এমন ক্ষেত্রেও)। scalar product এর সাথে মাত্রার তেমন কোনো সম্পর্ক নাই।

তিন মাত্রায় একটা ভেক্টর $\vec(a)$ কে $(a_1,a_2,a_3)$ হিসাবে লেখা যায়। যেকোনো সসীম মাত্রার ভেক্টরকে $(a_1,a_2, \cdots a_n)$ হিসাবে লেখা যায় যেইখানে $n$ হইল মাত্রা।
এইক্ষেত্রে scalar product কে নিচের যেকোনো একভাবে সংজ্ঞায়িত করলেই হবে। প্রথমটা নিউটনীয় পদার্থবিজ্ঞানের জন্য বেশি সুবিধাজনক। তবে অন্য প্রায় সব ক্ষেত্রেই দ্বিতীয়টা ব্যবহার করা হয়। প্রথমটা আসলে দ্বিমাত্রিক; কারণ দুইটা ভেক্টর দিয়া একটা দ্বিমাত্রিক তল নির্দেশিত হয়। দ্বিতীয়টাকে যেকোনো সসীম মাত্রার ক্ষেত্রেই ব্যবহার করা যাবে, যেইখানে $n$ হইল মাত্রা।

১. $\vec{a} \cdot \vec{b}= ab cos \theta$
২. $\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_1,a_2, \cdots, a_n) \cdot (b_1,b_2, \cdots, b_n) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots a_nb_n$

দ্বিতীয় সংজ্ঞাটা scalar product এর বিশ্বজনীন সংজ্ঞা। দুনিয়ায় যাবতীয় যত scalar product আছে (সসীম মাত্রার), সেইটা বাস্তব সংখ্যা, জটিল সংখ্যা, অথবা পুরাপরি abstract জিনিসের ভেক্টরই হোক না কেন, এই সংজ্ঞা দিয়াই চলবে। অসীম মাত্রা হইলে বা সুনির্দিষ্ট মাত্রা না থাকলে ব্যাপারটা আরেকটু জটিল, কিন্তু সেইক্ষেত্রেও সংজ্ঞাটা মোটামুটি এইটার মতোই দেখতে।

[Abdul Muntakim Rafi]

আচ্ছা ভাইয়া, Dot Product & Scalar Product দুইটাই কি শুধু যে কোন দুইটা ভেকটর এর জন্য প্রযোজ্য ?

না হলে কোণ এর মান কিভাবে নির্ণয় করা হবে?

আর দুই নম্বরের মত সংজ্ঞায়িত করলে এই সমস্যা হয় না।

[tanvirab]

প্রশ্নটা বুঝি নাই।
dot product আর scalar product একই জিনিস। dot product শব্দটা নিউটনীয় পদার্থবিজ্ঞানে বেশি ব্যবহার করে। অন্যান্য ক্ষেত্রে scalar product বলে।

[Abdul Muntakim Rafi]

আমি লিখছি,

আচ্ছা ভাইয়া, Dot Product & Scalar Product দুইটাই কি শুধু যে কোন দুইটা ভেকটর এর জন্য প্রযোজ্য ?

ইয়াআল্লাহ!!! আমি কি লিখছি।

আসলে লিখতে চাইছিলাম,

আচ্ছা ভাইয়া, Dot Product & Vector Product দুইটাই কি শুধু যে কোন দুইটা ভেকটর এর জন্য প্রযোজ্য ?

না হলে কোণ এর মান কিভাবে নির্ণয় করা হবে?

আর দুই নম্বরের মত সংজ্ঞায়িত করলে এই সমস্যা হয় না।

[tanvirab]

এখনো বুঝি নাই।

[Abdul Muntakim Rafi]

ভাইয়া, আমি প্রশ্ন করছিলাম যে Scalar Product কি শুধু যে কোন দুইটা vector এর মধ্যে করা যায় ?
মানে
\[\overrightarrow{A}. \overrightarrow{B}. \overrightarrow{C} = ?\]

এইরকম ৩ টা ভেক্টরের Scalar Product কি বের করা যাবে ? না যাবে না।
কারন অপারেশান টা যে কোন দুইটা ভেক্টরের মধ্যে করা হয়। এতে নতুন একটা Scalar রাশি পাওয়া যায়।
আমার প্রশ্ন টা জাগছিল

\[\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}=a_1{}b_1{}+a_2{}b_2{}+........+a_n{}b_n{} \]

দেখে। তাইলে ত
\[\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}. \overrightarrow{c}=a_1{}b_1{}c_1{}+a_2{}b_2{}c_2{}+........+a_n{}b_n{}c_n{} \]

এইরকম হতে পারে। কিন্তু এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় নাই।